根号2

Filed under 数学 on 2024年6月4日. Last updated on 2024年6月4日.

很多日常非常不起眼的东西，我自以为了解，但其实知之甚少，比如 $\sqrt{2}$ 。

$\sqrt{2}$ 的无理数证明

$\sqrt{2}$ 是无理数的证明方法比较多，直接上wiki看就好了。

在学生时代，我们都使用 $\sqrt{2}$ 的近似值，也就是1.414来进行计算。然而现在让我感兴趣的是，如何把 $\sqrt{2}$ 计算到更高的精度。

添加辅助线，得到一个跟大等边直角三角形等比例的小三角形。根据图中线段的比例关系，构造一个等式：

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 - (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - \sqrt{2}}

接下来对这个等式进行变换：

\begin{align} \sqrt{2} - 1 &= \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}} \notag \\ &= \frac{1}{\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2}} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{2} + 2}{2}} \notag \\ &= \frac{1}{1+\sqrt{2}} \notag \end{align}

把1移到等式右边：

\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{1+\sqrt{2}}

在这里，有一个很重要的形式，也就是连分数。因为在这个表达式中，我们可以无限迭代，替换等式右边的 $\sqrt{2}$ 。

\begin{align} \sqrt{2} &= 1 + \frac{1}{1+1 + \frac{1}{1+1 + \frac{1}{1+1 + \dots}}} \notag \\ &= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}} \notag \end{align}

可以看到，省略的部分随着迭代的深度增加，变得越来越不重要，但是在分母部分反复出现的2却是遵循固定的模式。无论我们假设迭代到最深处，这个值是无穷大还是无穷小，最终我们会得到一个非常趋近 $\frac{1}{2}$ 的初始值。当我们用 $\frac{1}{2}$ 在这个连分数中不断计算，

\begin{align} \sqrt{2} -1 &\approx \frac{1}{2} = 0.5 \notag \\ &\approx \frac{1}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{5} = 0.4 \notag \\ &\approx \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{5}{12} = 0.41\overline{6} \notag \\ &\approx \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}}}} = \frac{12}{29} = 0.\overline{4137931034482758620689655172} \notag \\ &\approx \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}} = \frac{29}{70} = 0.4\overline{142857} \notag \\ &\approx \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}} = \frac{70}{169} \approx 0.41420118343195266272 \notag \end{align}

在迭代几次后，我们看到，小数部分0.4142已经比较精确了。如果需要更精确的结果，可以不断迭代分数的分子和分母，直到达到需要的精度。

到这里，基本上解决了如何计算高精度 $\sqrt{2}$ 的问题。然而，一些似乎更有意思的问题也出现了:

这些问题，我们就下次在解决吧。❤️