هناك العديد من طرق إثبات أن
2
هو عدد غير نسبي،
يمكنك الاطلاع عليها مباشرة من خلال
ويكيبيديا
.
حساب 2
خلال أيام الدراسة، كنا نستخدم القيمة التقريبية لـ 2
، وهي 1.414، في الحسابات. ومع ذلك، ما يثير اهتمامي الآن هو كيفية حساب 2 بدقة أعلى.
الطريقة الهندسية
بإضافة خطوط مساعدة، نحصل على مثلث أصغر يتناسب مع المثلث القائم الأكبر. بناءً على العلاقات التناسبية لأطوال القطع المستقيمة في الرسم، نقوم ببناء معادلة:
21=1−(2−1)2−1=2−22−1
بعد ذلك، نقوم بتحويل هذه المعادلة:
2−1=2−221=22(2+2)1=222+21=1+21
انقل الرقم 1 إلى الجانب الأيمن من المعادلة:
2=1+1+21
هنا، لدينا شكل مهم جدًا، وهو الكسر المستمر. لأننا في هذا التعبير يمكننا التكرار إلى ما لا نهاية عن طريق استبدال
2
في الجانب الأيمن من المعادلة.
2=1+1+1+1+1+1+1+…111=1+2+2+2+…111
يمكننا أن نلاحظ أن الجزء المهمل يصبح أقل أهمية مع زيادة عمق التكرار، لكن الرقم 2 الذي يظهر بشكل متكرر في المقام يتبع نمطًا ثابتًا.
سواء افترضنا أن القيمة في أعمق تكرار هي كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا إلى ما لا نهاية، فإننا في النهاية سنحصل على قيمة قريبة جدًا من القيمة الابتدائية
21.
عندما نستخدم
21
في هذا الكسر المستمر للحساب المتواصل،
بعد عدة تكرارات، نلاحظ أن الجزء العشري 0.4142 قد أصبح دقيقًا للغاية. للحصول على نتيجة أكثر دقة، يمكننا الاستمرار في تكرار البسط والمقام للكسر حتى نصل إلى الدقة المطلوبة.
هنا، قد قمنا بحل كيفية حساب 2 بدقة عالية بشكل أساسي. ومع ذلك، ظهرت أيضًا بعض الأسئلة الأكثر إثارة للاهتمام:
لماذا يمكن استبدال المعادلة بنفسها؟ هل هذه الطريقة صحيحة؟
بالنسبة لأرقام الجذور التربيعية الأخرى، مثل 3، كيف يمكننا إنشاء معادلة مشابهة للمعادلة المستخدمة لحساب 2 ؟
يبدو أن شكل الكسر المستمر مشابه لطريقة التكرار المستخدمة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. ما هي العلاقة بينهما؟